Научный журнал

Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159

ИФ РИНЦ = 0,425

• Авторы
• Файлы
• Литература

Шпаков П.С. 1 Яворский В.В. 2 Долгоносов В.Н. 1

---

1 Карагандинскии государственный технический университет

2 Карагандинскии государственный индустриальный университет

Статья в формате PDF

871 KB

1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.

2. Dolgonosov V., Fofanov O., Yavorskiy V. Analytical method of calculating open pit slopes stability on weak base of unlimited thickness // Proceedings of «Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS)», 2014 International Conference on 16–18 Oct. 2014.

3. Nizametdinov F., Yavorskiy V., Ozhigin D. The creating of stability boards quarry // Proceedings of «Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS)», 2014 International Conference on 16–18 Oct. 2014.

В статье рассмотрены основы исследования прибортового массива, сложенного пластичными породами. В процессе горных работ происходит изменение параметров откоса (высоты, угла наклона и конфигурации), что приводит к изменению напряженно-деформированного состояния прибортового массива. При неизменных конструктивных параметрах борта происходят изменения поля напряжений и деформаций во времени, которые начинают отсчет с момента времени t0 начала формирования откоса. В результате изменения напряженно-деформированного состояния в прибортовом массиве возникают предельные (пластические) зоны в соответствии с теорией предельного равновесия. Несущая способность этих участков достигает своего предела и дальнейший рост напряжений там невозможен, происходит перераспределение напряжений на окружающий массив и рост пластической области.

Нарушение устойчивого состояния прибортового массива связано с возникновением и развитием областей пластического (предельного) состояния горных пород и формированием в них поверхностей скольжения.

В процессе горных работ происходит изменение параметров откоса (высоты, угла наклона и конфигурации), что приводит к изменению напряженно-деформированного состояния прибортового массива. При неизменных конструктивных параметрах борта происходят изменения поля напряжений и деформаций во времени, которые начинают отсчет с момента времени t₀ начала формирования откоса. В результате изменения напряженно-деформированного состояния в прибортовом массиве возникают предельные (пластические) зоны в соответствии с теорией предельного равновесия. Несущая способность этих участков достигает своего предела и дальнейший рост напряжений там невозможен, происходит перераспределение напряжений на окружающий массив и рост пластической области. Достижение откосом предельного состояния означает формирование сплошной пластической области, отделяющей откос от прибортового массива, в которой формируются поверхности скольжения. При решении плоской задачи теории предельного равновесия в исследуемой области формируется два семейства линий скольжения (в соответствии с парностью касательных напряжений), которые представляют собой след поверхности скольжения в исследуемой плоскости. Линии скольжения в каждой своей точке касаются площадки максимального касательного напряжения и могут быть описаны параметрическими уравнениями

x = x (α;β); y = y (α;β), (1)

где α;β – параметры линии скольжения.

При использовании теории предельного равновесия в качестве гипотезы прочности, отклонение линий скольжения от первого главного напряжения составит угол ±(45° – ρ/2).

Обозначим θ угол наклона касательной к линии первого семейства, отсчитываемый в положительном направлении от оси X. Тогда дифференциальные уравнения линий 1-го семейства (α-линии) и 2-го семейства (β-линии) соответственно будут иметь вид

(2)

Рассмотрим откос высотой Н и углом откоса α, находящийся в предельном состоянии. Построим предполагаемую круглоцилинд-рическую поверхность скольжения, для чего определяем ширину призмы возможного обрушения по формуле [1]

(3)

где

Разбиваем призму возможного обрушения и поверхность откоса на N равных частей и строим N поверхностей скольжения. Построенное семейство дуг окружностей приближенно совпадает с линиями скольжения 1-го рода. При построении линий скольжения 2-го рода учитывается то обстоятельство, что линии скольжения 1-го и 2-го рода пересекаются под углом (90° – r). Такое разбиение призмы возможного обрушения на блоки отвечает физической сущности деформирования приоткосного массива [1]. С глубины Н₉₀ массив достигает предельного (пластического) состояния, которое, очевидно, распространяется на область СДЕ и полосу малой ширины, заключающую линию скольжения АЕ. Уравнение предельного равновесия Кулона является, по сути, уравнением физической модели жестко-пластического тела с элементом трения. В прямоугольной системе координат XYZ, где ось Z перпендикулярна плоскости сечения, а sz является одним из главных напряжений, имеем

σ_z – σ = 0; σ = 0,5 (σ_x + σ_y). (4)

Остальные главные напряжения являются корнями квадратного уравнения

(5)

откуда

(6)

Таким образом, главные напряжения равны

 σ₁ = σ + τ; σ₂ = σ; σ₃ = σ – τ, (7)

где максимальное касательное напряжение

(8)

Напряженное состояние в каждой точке массива характеризуется наложением гидростатического напряженного состояния на напряжения чистого сдвига [1]. При достижении пластического состояния должно выполняться условие текучести

 τ = τ_s = const, или σ_max – σ_min = 2 τ_s. (9)

В соответствии с теорией предельного равновесия

Из формулы (8) получим

(10)

Добавим к этому условию два дифференциальных уравнения равновесия с учетом объемных (гравитационных) сил

(11)

Если на границе рассматриваемой области заданы напряжения, то имеем полную систему уравнений равновесия для определения напряженного состояния в состоянии текучести

(12)

Обозначим полусумму главных напряжений через σ, а полуразность – через ε и перейдем к углу θ = [(1, x) – π/4]. Тогда

(13)

При этом условие текучести выполняется. Подставляя полученные значения в уравнения равновесия (11), получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций σ(x, y) и θ(x, y)

(14)

Данная система уравнений является системой гиперболического типа, которая имеет два различных вещественных семейства характеристических линий, совпадающих с линиями скольжения.

Для произвольной точки линии скольжения справедливы соотношения Г. Генки [3]

– для семейства линий a

(15)

– для семейства линий b

(16)

где x и h – постоянные величины.

При переходе от одной линии скольжения семейства α к другой параметр ξ изменяется. Аналогично, при переходе от одной линии семейства β к другой изменяется параметр η. Таким образом, ξ зависит только от параметра β, а η – только от α, т.е.

ξ = ξ(β); η = (α).

Если определено поле линий скольжения и на них значения параметров ξ и η, то в каждой точке известны σ и θ, т.е. известны компоненты напряжений.

Система дифференциальных уравнений равновесия (14) может быть линеаризована. За неизвестные функции удобно принять параметры ξ и η. Выполним замену

σ = ε(ξ + η);

Умножая затем второе из полученных уравнений последовательно на tgθ и (–ctgθ) и складывая с первым, получаем

(17)

Получаем линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Построение аналитических решений для линеаризованных уравнений (17) связано с большим объемом вычислений. Более простыми и доступными являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании свойств линий скольжения [1]. Множество плоских задач теории пластичности можно представить как комбинацию трёх основных элементарных задач – задачи о начальных (граничных) значениях (задача Коши), начальная характеристическая задача (задача Римана) и смешанная задача [1]. Таким образом, при исследовании напряженного состояния прибортового массива необходимо решать задачу Коши для области CDE (рисунок 1), имеющую прямолинейную свободную границу CD, равномерно загруженную давлением р = – γН₉₀. Вдоль границы CD имеем равномерное напряженное состояние

σ_у = –γН₉₀;

σх = ±2ε – γН₉₀;

τ_ху = 0;

θ = π/2 – μ = π/4 + ρ/2.

При построении решений в области, расположенной ниже призмы активного давления, принимаем в качестве семейства a-линий скольжения семейство дуг окружностей, образующих угол m = π/4 – ρ/2 с поверхностью откоса у нижней бровки и вертикалью на сопряжении с призмой CDE. Таким образом, величина угла θ изменяется от (π/4 + ρ/2) на границе с призмой до (α – μ) на поверхности откоса. Угол θ в любой точке А дуги скольжения может быть определен по формуле

(18)

где х₀, у₀ – координаты центра окружности; хА, уА – координаты точки А дуги скольжения.

Если ввести естественную прямоугольную систему координат S₁AS₂, связанную с a-линиями скольжения и повернутую относительно системы координат ХОУ на угол θ, то дифференциальные уравнения равновесия (14) примут вид

(19)

Уравнения равновесия (19) справедливы для произвольной системы координат S₁AS₂. Если координатная ось AS₁ совпадает с направлением касательной к α-линии скольжения, то уравнения принимают более простую форму

(20)

Соотношения Генки для плоской задачи в области прибортового массива, где удовлетворяются условия пластичности и предельного равновесия вдоль линий скольжения α и β, примут вид:

– для α-линий

(21)

– для b-линий

(22)

В пределах элементарного блока расчетной сетки принимаем θ = const, тогда дифференциальные уравнения можно заменить уравнениями в приращениях

(23)

Складывая оба уравнения, получим

(24)

Вычитая из второго уравнения системы первое, получим

(25)

Сгущаем расчетную сетку в пределах каждого элементарного блока и вычисляем значения θ в узлах сетки по формуле (17). Переходим от дифференциальных соотношений (20) и (21) к конечно-разностным, последовательно определяя значения σ в узлах сетки. При рассмотрении напряженного состояния массива, расположенного ниже призмы активного давления, для каждого четырехугольного расчетного блока необходимо решать начальную характеристическую задачу, а для последнего треугольного блока каждого слоя – смешанную задачу со свободной границей, лежащей на поверхности откоса.

Библиографическая ссылка