Научный журнал

Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159

ИФ РИНЦ = 0,425

• Авторы
• Файлы
• Литература

Далингер В.А. 1

---

1 Омский государственный педагогический университет

Статья в формате PDF

2278 KB

1. Далингер В.А., Симонженков С.Д. Метод множителей Лагранжа и его применения: учебное пособие. – Омск: Изд-во ООО «Амфора», 2012. – 115 с.

При нахождении экстремума функции нескольких переменных следует помнить, что её аргументы могут быть или независимыми, или зависимыми переменными. В случае независимых переменных говорят, что решается задача безусловной оптимизации (задача на безусловный экстремум).

В данной статье рассматривается экстремум целевой функции, аргументы которой зависимы между собой.

Задача, означенная в заголовке, – это задача минимизации (или максимизации) заданной функции f на множестве X, определяемом системой конечного числа уравнений («связей»):

.

Запишем эту задачу в виде

. (1)

В некоторых случаях возможен следующий подход к отысканию решения задачи (1). Допустимое множество представляет собой систему из m уравнений с n неизвестными, при этом обычно . Если из этой системы удается m переменных выразить через остальные переменных, то относительно них получается задача безусловной оптимизации.

Пример 3.1. Почта США принимает посылки в виде ящиков, у которых длина и обхват поперек ее в сумме не превышают 72 дюйма (один дюйм – это 25.4 мм). При каких допустимых размерах посылки ее объем наибольший?

Решение. В очевидных обозначениях имеем задачу при условиях . Ясно, что здесь достаточно нестрогое неравенство заменить равенством, и мы имеем задачу (1), в которой

.

Выразив из уравнения связи, придем к задаче безусловной оптимизации функции двух переменных (как говорят, понизим размерность задачи)

,

решением которой будет точка (24; 12).

В этом примере исследование условного экстремума свелось к уже рассмотренному исследованию обычного экстремума функции меньшего числа переменных.

Описанный метод исключения переменных имеет ограниченную область применения, поскольку выразить группу одних переменных через остальные – процедура не всегда однозначная и далеко не всегда легко осуществимая. Более универсальным является метод Лагранжа, основанный на использовании условий экстремума непосредственно для задачи (1).

По определению, функция Лагранжа задачи (1) – это функция

, (2)

где . Пусть – градиент функции Лагранжа по , – ее гессиан по . Следующая теорема (без вывода), лежащая в основе метода Лагранжа, является центральным фактом классической теории условного экстремума.

Теорема 3.1 (необходимое условие минимума первого порядка, или принцип Лагранжа). Пусть функции – гладкие в некоторой окрестности точки , являющейся локальным решением задачи (1). Тогда в существует ненулевой вектор такой, что .

Здесь последнее равенство имеет ясный геометрический смысл: с учетом (2) оно означает, что градиенты функций в точке являются линейно зависимыми. В частности, если , то градиенты должны быть коллинеарными. Напомним, что эти градиенты, если они ненулевые, направлены ортогонально к поверхностям уровня и соответственно, причем их коллинеарность говорит о том, что решение должно быть точкой касания данных поверхностей (при – линий уровня). Фактически это необходимое условие, или «принцип касания».

Любое дополнительное предположение о задаче (1), обеспечивающее в теореме 3.1 случай , принято называть условием регулярности. При наличии такого условия и саму задачу (1) называют регулярной. Для нее достаточно рассматривать лишь регулярную функцию Лагранжа

. (3)

Самым главным примером условия регулярности является условие линейной независимости градиентов функций gi на допустимом множестве.

Теорема 3.2 (достаточное условие минимума второго порядка). Пусть функции , дважды гладкие в окрестности точки , гладкие и градиенты линейно независимы. Пусть существует вектор со свойствами:

1) для функции (3) ;

2) матрица Гессе положительно определена на множестве векторов

,

удовлетворяющих условию

. (4)

Тогда – строгое локальное решение задачи (1).

Условие (4) означает, что вектор h ортогонален к линейному пространству, натянутому на градиенты . Поэтому его называют условием ортогональности. Ясно, что если задачу (1) заменить задачей максимизации, а в условии 2) потребовать, чтобы матрица Гессе была отрицательно определенной, то в точке целевая функция имеет строгий локальный максимум.

На практике обычно имеет место случай, когда целевая функция f и все функции gi, дважды гладкие в некоторой области , содержащей допустимое множество, причем градиенты функций gi линейно независимы. Проверив эту независимость, далее для решения задачи (1) надлежит сделать следующее.

1. Составить функцию Лагранжа (3) и найти ее градиент по x.

2. Потребовать, чтобы построенный градиент был равен нулю. К полученной системе уравнений добавить уравнения связей и решить возникшую систему. Пусть – одно из этих решений (стационарная точка функции Лагранжа по всем переменным). Числа называются множителями Лагранжа, соответствующими точке . Эта точка является «подозрительной» на экстремум целевой функции.

3. Исследовать на знакоопределенность гессиан функции Лагранжа по x в точке при условии ортогональности и сделать заключение в соответствии с теоремой 3.2.

Вектор h в теореме 3.2, как и в случае безусловной оптимизации, состоит из приращений аргументов, т.е. их дифференциалов:

.

Тогда условие ортогональности (4) можно записать в виде

.

На шаге 3 указанной схемы при этих условиях надо исследовать на знакоопределенность квадратичную форму матрицы Гессе , т.е. второй дифференциал функции Лагранжа по x.

Пример 3.2. Найти экстремальные значения функции на прямой .

Решение. Имеем случай . Условие «градиенты функций gi линейно независимы» в данном случае означает, что градиент функции отличен от нуля. Но это так, ибо . Далее действуем в соответствии с описанной трехшаговой схемой.

1. Составим регулярную функцию Лагранжа

,

найдем ее градиент по переменным :

.

2. Решением системы уравнений

.

является единственная точка .

3. Составим матрицу Гессе функции Лагранжа. В любой точке, в частности, в найденной, она равна

.

Отсюда . Полученная квадратичная форма пока знакопеременная. Например, ее значение при равно –2, а при оно равно 2. Но ведь мы не учитывали уравнение связи. Из него имеем . Тогда , т.е. второй дифференциал есть отрицательно определенная квадратичная форма. Следовательно, точка является точкой локального условного максимума целевой функции, равного 3.

Пример 3.3. Найти точки условного экстремума функции при условиях

.

Решение. Градиенты функций (выпишите их) коллинеарны при . Но точка с равными координатами не может лежать на допустимом множестве X, описываемом равенствами . Следовательно, можно решать регулярную задачу.

Решаем систему уравнений

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

. (9)

Как наиболее эффективно решить эту систему? Один из подходов состоит в следующем: умножим обе части первого уравнения на x, второго – на y, третьего – на z, после чего все три уравнения сложим. В силу (8), (9) получим

. (10)

После этого уравнения (5) – (7) примут вид

, (5а)

, (6а)

, (7а)

Из уравнения (5а) вычтем (6а). После некоторых преобразований получим

.

Здесь множитель Лагранжа не должен быть нулевым, поэтому или . Добавляя к последнему равенству уравнения связи, придем к несовместной системе. Но система уравнений из (8) и (9) и имеет два решения .

Повторяя затем поочередно описанную процедуру с уравнениями (5а), (7а) и (6а), (7а), получим еще 4 решения. Итого будем иметь 6 точек, «подозрительных» на экстремум целевой функции:

Составим гессиан функции Лагранжа по x,y,z в произвольной точке:

.

Точке M1, согласно (10), соответствует множитель Лагранжа . Исследуем гессиан

.

Из равенств (8), (9) имеем

Точке соответствуют равенства

.

Второй дифференциал функции Лагранжа, или, что то же, квадратичная форма матрицы , имеет вид

Или

Следовательно, в точке целевая функция имеет минимум, равный – 2. Таков же результат в отношении точек . В остальных точках будет максимум, равный 2.

Выделение точек условного экстремума входит составной частью в решение задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области . Используется следующий факт: экстремум дифференцируемой функции достигается либо во внутренней стационарной точке области, либо на ее границе.

Пример 3.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в полушаре

.

Решение. Приведем краткое решение, опуская детали, которые читателю следует воспроизвести. Единственная стационарная точка лежит внутри области, поэтому займемся исследованием поведения функции на ее границе. Эта граница состоит из полусферы

и круга

.

Применяя метод Лагранжа, нетрудно убедиться в том, что на полусфере единственной возможной точкой экстремума является

.

Внутри круга находится только одна стационарная точка

.

Снова, применяя метод Лагранжа, обнаруживаем две «подозрительные» на экстремум точки границы круга

.

Итак, искомые значения могут достигаться только в указанных пяти точках. Составим вектор значений целевой функции в этих точках

,

найдем его наименьший и наибольший элементы. Получим ответ: наименьшее значение, равное – 3, достигается в первой точке; наибольшее – в последней точке и равно .

В заключение статьи сделаем важное замечание по применению метода Лагранжа. Используя его, надо аккуратно проверять условие линейной независимости градиентов функций, задающих уравнения связи. Если это условие не выполняется, то метод может и не дать некоторых точек экстремума целевой функции. Например, пусть на плоскости требуется найти расстояние от начала координат до полукубической параболы . Другими словами, надо найти минимум функции цели при условии . Геометрически очевидно, что искомое расстояние равно 1 и достигается в точке , в которой градиент функции нулевой. Но с помощью правила Лагранжа мы не можем получить эту точку, так как системе уравнений

ее координаты не удовлетворяют.

Более обстоятельный разговор об использовании метода множителей Лагранжа читатель найдет в нашей работе [1].

Библиографическая ссылка