Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ КАК МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Матвеева А.Е. 1 Макарова Н.В. 1 Миронова Ю.Н. 1
1 Елабужский институт Казанского (Приволжскиого) федерального университета
1. Математический анализ: Интегральное исчисление: Учеб. пособие для студентов-заочников 2 курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович, Е.С. Куницкая; Моск. гос. заоч. пед. ин-т. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1988. – 14 с.
2. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. – М., 1969. – 125 с.

Один из методов вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения двух функций. Рассмотрим функции

mak1.wmf,

дифференцируемые на некотором промежутке X. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

mak2.wmf.

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

mak3.wmf

Так как:

mak4.wmf

то получаем:

mak5.wmf

откуда

mak6.wmf

Мы получили формулу интегрирования по частям:

mak7.wmf (1)

Так как mak8.wmf существует по условию, то mak9.wmf тоже существует. Метод используется следующим образом. В mak10.wmf выделяем u и dv, затем находим du, а из dv интегрированием находим mak11.wmf и используем формулу интегрирования по частям. u и dv нужно выбрать так, чтобы:

Из dv легко находилась v; mak12.wmf вычислялся легче, чем mak13.wmf.

Замечание. Иногда интегрирование по частям приходятся применять несколько раз.

Пример 1

Вычислить интеграл mak14.wmf

Решение: Положим

mak15.wmf.

Тогда

mak16.wmf.

Используя формулу (1), получим:

mak17.wmf.

Ответ: mak18.wmf.

Пример 2

Вычислить интеграл mak19.wmf

Решение: Положим

mak20.wmf

Тогда

mak21.wmf.

Используя формулу (1), получим :

mak22.wmf

Ответ: mak23.wmf.

Пример 3

Вычислить интеграл mak24.wmf.

Решение: Положим

mak25.wmf

Тогда mak26.wmf.

Используя формулу (1), получим :

mak27.wmf.

Положим

mak28.wmf

Тогда

mak29.wmf.

mak30.wmf

Ответ: mak31.wmf

Пример 4

Вычислить интеграл: mak32.wmf

Решение: Положим

mak33.wmf.

Тогда

mak34.wmf.

mak35.wmf

Положим

mak36.wmf

Тогда

mak37.wmf

mak38.wmf

Ответ:

mak39.wmf


Библиографическая ссылка

Матвеева А.Е., Макарова Н.В., Миронова Ю.Н. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ КАК МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ // Международный журнал экспериментального образования. – 2016. – № 3-1. – С. 128-129;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=9687 (дата обращения: 11.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074